1ª SÉRIE (Mat.)

Teoria de Conjuntos

Conjunto é a reunião de elementos que possuem pelo menos uma característica em comum entre eles, é representado por uma letra maiúscula do alfabeto.

Elemento é um dos componentes do conjunto, em geral, é representado por uma letra minúscula do nosso alfabeto.

Como exemplo, temos o conjunto das vogais do alfabeto, este conjunto será representado pela letra M.

M = {a, e, i, o, u}, as letras a, e, i, o, u são os elementos do conjunto M.

Pertinência é a característica associada a um elemento que faz parte do conjunto. Caso o elemento pertença ao conjunto utilizamos o símbolo ∈ que se lê pertence, caso o elemento não pertença ao conjunto, será utilizado o símbolo ∉ que se lê não pertence.

Como exemplo, vamos analisar o conjunto das vogais do alfabeto.

M = {a, e, i, o, u}

b ∉ M lê se b não pertence a M.

a ∈ M, lê se pertence a M.

Algumas características dos conjuntos:

Os elementos de um conjunto estão dentro de duas chaves.

O conjunto é descrito por uma ou mais características.

Os conjuntos também podem ser escritos pelas características que formam o conjunto.

Por exemplo, o conjunto V = {a, e, i, o, u} também pode ser descrito como

M = {x / x é vogal do alfabeto}.

Diagrama de Venn – é a representação gráfica do conjunto.

   Alguns Conjuntos importantes:

      

   Conjunto vazio – é subconjunto de todos os subconjuntos, não possui nenhum elemento e é representado por { } ou Ø.

   Conjunto universo – é um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando, e é representado pela letra U.

  Subconjuntos – Dados dois conjuntos A e B, se A está contido em B, ou seja todos os elementos de A pertencem a B, dizemos o conjunto A é subconjunto de B. Pois A tem alguns elementos de B.

  

  Exemplo: A = {1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, como todos os elementos de A estão no conjunto B, dizemos que A é subconjunto de B.

  OBS: Caso os conjuntos A e B tivessem os mesmos elementos também dizemos que A é subconjunto de B , e também podemos dizer que B é subconjunto de A.

  

  Exemplo: A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3}, podemos dizer que A é subconjunto de B e B é subconjunto de A pois os dois conjuntos tem o mesmo elemento.

   

  Para calcularmos o número de subconjuntos de um determinado conjunto basta calcularmos a equação 2ⁿ, onde n é o número de elementos do conjunto.

  Por exemplo, dado o conjunto A = { 1, 2, 3} possui 8 subconjuntos, pela equação podemos confirmar isto, pois 2³ = 2 . 2 . 2= 8, mas quais são os subconjuntos?

  Os subconjuntos de um conjunto são conjuntos com 0 elementos, 1 elemento, 2 elementos, ... , até n elementos.

   Então o conjunto A = {1, 2, 3} com 3 elementos temos,

   Com 0 elementos: o conjunto vazio { }  - 1 subconjunto

   Com 1 elemento: { {1}, {2}, {3}}  - 3 subconjuntos

   Com 2 elementos: { {1,2}, {1,3}, {2,3} – 3 subconjuntos

   Com 3 elementos: { 1,2,3} – 1 subconjunto.

   Temos 8 subconjuntos

   Relação de Inclusão

  

   As relações de inclusão são está contido que é representado por ⊂, não está contido que é representado por ⊄, contém que é representado por ⊃ e não contém que é representado por ⊅. Essas relações só podem ser utilizadas quando temos relações entre conjuntos, quando temos relações de elementos com conjuntos utilizamos pertence ou não pertence.

   Exemplo:

  Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3} e C = {3}, relacione as sentenças abaixo:

   a)    1 ∈ B

   b) 4 ∉ C

   c) 0 ∉ C

   d) A ⊃ B

   e) B ⊃ C

   f) B ⊅ A

   g) B ⊂ A

         União de conjuntos 

  Dados dois conjuntos A e B, a união destes dois conjuntos é a reunião de elementos do conjunto A e dos elementos do conjunto B, também podemos representar este conjunto através de sua descrição que é a seguinte:

   A U B = {x / x ∈ A ou X ∈ B}

  

          Interseção de conjuntos

   Dados dois conjuntos A e B, a interseção destes dois conjuntos é o conjunto de elementos que estão tanto no conjunto A e do conjunto B, também podemos representar este conjunto através de sua descrição que é a seguinte:

    

   A ∩ B = {x / x ∈ A e x ∈ B} 
  
   Diferença entre conjuntos

   
    Dados dois conjuntos A e B, a diferença entre o conjunto A e o conjunto B é o conjunto formado pelos  elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B, também podemos representar este conjunto através de sua descrição que é a seguinte:
   
   A - B = {x / x ∈ A e x ∉ B}


   Complementar de um conjunto

       
   Dados dois conjuntos A e B, o complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por C_A^B, é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, são os elementos que tem no conjunto A e não tem no conjunto B, também podemos representar este conjunto através de sua descrição que é a seguinte:

       C_A^B = A – B = {x / x ∈ A e x ∉ B}


   OBS: Para existir complementar de um conjunto B em relação ao conjunto A necessariamente tem que satisfazer a seguinte condição:


    B ⊂ A, todos os elementos de B estão contidos em A.


  Exemplo:
  
  Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3} e C = {0, 1}, responda:


  a) A U C = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
  b) A ∩ B = {1, 2, 3}
  c) B ∩ C = {1}
  d) A - B = {4, 5}

  e) A - C = {2, 3, 4, 5}
  f) C_A^C = ∅, pois C ⊄ A
  g) C_A^B = {4, 5}

  Conjuntos Numéricos

  

  Os conjuntos numéricos são compreendidos como os conjuntos dos números que possuem características semelhantes, os conjuntos numéricos que vamos aprender é: Conjunto dos números naturais, conjunto dos números inteiros, conjunto dos números racionais, conjunto dos números irracionais e o conjunto dos números reais. 

     
  Conjunto dos números naturais
  
  O conjunto dos números naturais é representado por IN.
  IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

  Conjunto dos números inteiros 
  
  O conjunto dos números inteiros é indicado por Z.
  Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
  Repare que todos os números naturais pertencem ao conjunto dos números inteiros, com isso podemos dizer que IN é subconjunto de Z, já que IN está contido em Z, além de IN podemos destacar outros subconjuntos de Z que são: 
   
  Conjunto dos inteiros não negativos (Z₊)= {0, 1, 2, ...}
  Conjunto dos inteiros não positivos (Z-)= {..., -2, -1, 0}
  Conjunto dos inteiros positivos (Z^*₊)= {1, 2, 3, 4, ...}

  Conjunto dos inteiros negativos (Z^*_-) = {..., -3, -2, -1}


  Conjunto dos números racionais


  O conjunto dos números racionais formados pela fração a\b, onde a pertence a Z e B pertence a Z^*, já que não pode ter zero no denominador, utilizamos a letra Q para simbolizar o conjunto dos números racionais, e como os dois números da fração são números inteiros podemos afirmar que todos os números inteiros estão incluídos no conjunto dos nú,eros racionais, onde podemos concluir que o conjunto dos números inteiros é um subconjunto dos números racionais.
  alguns exemplos de números racionais {..., -3,4, -3, -2, -1, -0,5, 0, 0,5, 1,...}.
   
  podemos escrever o conjunto dos números inteiros através da expressão abaixo.
  Q = {x\ x = p\q , com p ∈ Z e q ∈ Z^*}
  
  Obs: As dízimas periódicas pertencem ao conjunto dos números racionais.


   Conjunto dos números irracionais


   O conjunto dos números irracionais é formado por todos os números que não são quocientes de inteiros e que podem ser representados por decimais não periódicos infinitos, é representado pela letra I.
  
  Alguns exemplos de números irracionais:
  p = 3,1415926535897932384626433832795...
  √2 = 1,41421356...
  √3 = 1,73205081...


  Conjunto dos números reais 
  
  O conjunto dos números reais é a união de todos os elementos do conjunto dos números racionais(Q) e do conjunto dos números irracionais(I), o conjunto dos números reais é simbolizado por R.
  
  Para uma melhor compreensão podemos representar estes conjuntos através do Diagrama de Venn.

     Intervalos Reais

  

   O conjunto dos números reais(R), possui subconjuntos denominados intervalos. Estes intervalos são obtidos através de desigualdades. Sejam os números reais a e b, com a < b, temos os conjuntos:

  1 - intervalo aberto em a e b:

  2 -  Intervalo fechado em a e b : 

    

     3 - Intervalo fechado à esquerda ou aberto à direita de em a e b:

4 - Intervalo fechado à direita ou aberto à esquerda de em a e b:

União e Interseção de intervalos

Como intervalos são conjuntos é natural que as operações mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se de um procedimento muito comum na resolução de alguns problemas.

E a maneira mais fácil e intuitiva de realizar essas operações é através da representação gráfica dos intervalos envolvidos. Vamos à um exemplo prático de como efetuar tais operações.

Sejam A = [-1,6] = {x ε R | -1 ≤ x ≤ 6} e B = (1,+∞) = {x ε R | x > 1} dois intervalos e vamos determinar A U B e A ∩ B.

Primeiramente, marcamos todos os pontos que são extremos ou origens dos intervalos em uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta, traçamos os intervalos que representam graficamente os conjuntos A e B. E, por fim, é só utilizar a definição de união e intersecção para determinar os trechos que estão em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aos dois intervalos, respectivamente. Veja a solução de A ∩ B na figura a seguir e de onde é também facilmente observado o resultado de A U B:

A ∩ B = {x ε R | 1 < x ≤ 6} e A U B = {x ε R | -1 ≤ x}

     

  O que precisamos saber desta parte para o nosso estudo são as relações de pertinência e de inclusão nos conjuntos numéricos. Para mais esclarecimentos abaixo encontra-se um link para um vídeo contendo explicações para facilitar ainda mais.

   

  http://www.youtube.com/watch?v=i50d2i5jsLc

     Não deixe de visitar os exercícios da sua série.