Teoria de Conjuntos
Conjunto
é a reunião de elementos que possuem pelo menos uma característica em comum
entre eles, é representado por uma letra maiúscula do alfabeto.
Elemento
é um dos componentes do conjunto, em geral, é representado por uma letra minúscula
do nosso alfabeto.
Como exemplo, temos o conjunto das vogais do alfabeto, este conjunto será representado pela letra M.
M = {a, e, i, o, u}, as letras a,
e, i, o, u são os elementos do conjunto M.
Pertinência
é a característica associada a um elemento que faz parte do conjunto. Caso o
elemento pertença ao conjunto utilizamos o símbolo ∈ que se lê pertence, caso o elemento não
pertença ao conjunto, será utilizado o símbolo ∉ que se lê não pertence.
Como exemplo, vamos analisar o
conjunto das vogais do alfabeto.
M = {a, e, i, o, u}
b ∉ M lê se b não pertence a M.
a ∈ M, lê se pertence a M.
Algumas características dos
conjuntos:
Os elementos de um conjunto estão dentro de duas
chaves.
O conjunto é descrito por uma ou mais
características.
Os conjuntos também podem ser
escritos pelas características que formam o conjunto.
Por exemplo, o conjunto V = {a,
e, i, o, u} também pode ser descrito como
M = {x / x é vogal do
alfabeto}.
Diagrama
de Venn – é a representação gráfica do conjunto.
Alguns Conjuntos importantes:
Conjunto vazio – é subconjunto de todos os
subconjuntos, não possui nenhum elemento e é representado por { } ou Ø.
Conjunto universo – é um conjunto que contém todos
os elementos do contexto no qual estamos trabalhando, e é representado pela
letra U.
Subconjuntos
– Dados dois conjuntos A e B, se A está contido em B, ou seja todos os
elementos de A pertencem a B, dizemos o conjunto A é subconjunto de B. Pois A
tem alguns elementos de B.
Exemplo: A = {1, 2, 3} e B = {0,
1, 2, 3, 4}, como todos os elementos de A estão no conjunto B, dizemos que A é
subconjunto de B.
OBS: Caso os conjuntos A e B
tivessem os mesmos elementos também dizemos que A é subconjunto de B , e também
podemos dizer que B é subconjunto de A.
Exemplo: A = {1, 2, 3} e B = {1,
2, 3}, podemos dizer que A é subconjunto de B e B é subconjunto de A pois os
dois conjuntos tem o mesmo elemento.
Para calcularmos o número de
subconjuntos de um determinado conjunto basta calcularmos a equação 2n,
onde n é o número de elementos do conjunto.
Por exemplo, dado o conjunto A =
{ 1, 2, 3} possui 8 subconjuntos, pela equação podemos confirmar isto, pois 23
= 2 . 2 . 2= 8, mas quais são os subconjuntos?
Os subconjuntos de um conjunto
são conjuntos com 0 elementos, 1 elemento, 2 elementos, ... , até n elementos.
Então o conjunto A = {1, 2, 3}
com 3 elementos temos,
Com 0 elementos: o conjunto vazio
{ } - 1 subconjunto
Com 1 elemento: { {1}, {2}, {3}} - 3 subconjuntos
Com 2 elementos: { {1,2}, {1,3},
{2,3} – 3 subconjuntos
Com 3 elementos: { 1,2,3} – 1 subconjunto.
Temos 8 subconjuntos
Relação de Inclusão
As relações de inclusão são está contido que é representado por ⊂, não está contido que é representado por ⊄, contém que é representado por ⊃ e não contém que é representado por ⊅. Essas relações só podem ser utilizadas quando temos relações entre conjuntos, quando temos relações de elementos com conjuntos utilizamos pertence ou não pertence.
Exemplo:
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3,
4, 5}, B = {1, 2, 3} e C = {3}, relacione as sentenças abaixo:
a) 1 ∈ B
b) 4 ∉ C
c) 0 ∉ C
d) A ⊃ B
e) B ⊃ C
f) B ⊅ A
g) B ⊂ A
União de
conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, a união destes dois conjuntos é a reunião de elementos do conjunto A e dos elementos do conjunto B, também podemos representar este conjunto através de sua descrição que é a seguinte:
A U B = {x / x ∈ A ou X ∈ B}
Interseção
de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, a
interseção destes dois conjuntos é o conjunto de elementos que estão tanto no
conjunto A e do conjunto B, também podemos representar este conjunto através de
sua descrição que é a seguinte:
A ∩ B = {x / x ∈ A e x ∈ B}
Diferença entre conjuntos
Diferença entre conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, a diferença entre o conjunto A e o conjunto B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B, também podemos representar este conjunto através de sua descrição que é a seguinte:
A - B = {x / x ∈ A e x ∉ B}
Complementar de um conjunto
Dados dois conjuntos A e B, o complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CAB, é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, são os elementos que tem no conjunto A e não tem no conjunto B, também podemos representar este conjunto através de sua descrição que é a seguinte:
CAB = A – B = {x / x ∈ A e x ∉ B}
OBS: Para existir complementar de um conjunto B em relação ao conjunto A necessariamente tem que satisfazer a seguinte condição:
B ⊂ A, todos os elementos de B estão contidos em A.
Exemplo:
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3} e C = {0, 1}, responda:
a) A U C = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
b) A ∩ B = {1, 2, 3}
c) B ∩ C = {1}
d) A - B = {4, 5}
e) A - C = {2, 3, 4, 5}OBS: Para existir complementar de um conjunto B em relação ao conjunto A necessariamente tem que satisfazer a seguinte condição:
B ⊂ A, todos os elementos de B estão contidos em A.
Exemplo:
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3} e C = {0, 1}, responda:
a) A U C = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
b) A ∩ B = {1, 2, 3}
c) B ∩ C = {1}
d) A - B = {4, 5}
f) CAC = ∅, pois C ⊄ A
g) CAB = {4, 5}
Conjuntos Numéricos
Os conjuntos numéricos são compreendidos como os conjuntos dos números que possuem características semelhantes, os conjuntos numéricos que vamos aprender é: Conjunto dos números naturais, conjunto dos números inteiros, conjunto dos números racionais, conjunto dos números irracionais e o conjunto dos números reais.
Conjunto dos números naturais
O conjunto dos números naturais é representado por IN.
IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Conjunto dos números inteiros
O conjunto dos números inteiros é indicado por Z.
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Repare que todos os números naturais pertencem ao conjunto dos números inteiros, com isso podemos dizer que IN é subconjunto de Z, já que IN está contido em Z, além de IN podemos destacar outros subconjuntos de Z que são:
Conjunto dos inteiros não negativos (Z+)= {0, 1, 2, ...}
Conjunto dos inteiros não positivos (Z-)= {..., -2, -1, 0}
Conjunto dos inteiros positivos (Z*+)= {1, 2, 3, 4, ...}
Conjunto dos números racionais
O conjunto dos números racionais formados pela fração a\b, onde a pertence a Z e B pertence a Z*, já que não pode ter zero no denominador, utilizamos a letra Q para simbolizar o conjunto dos números racionais, e como os dois números da fração são números inteiros podemos afirmar que todos os números inteiros estão incluídos no conjunto dos nú,eros racionais, onde podemos concluir que o conjunto dos números inteiros é um subconjunto dos números racionais.
alguns exemplos de números racionais {..., -3,4, -3, -2, -1, -0,5, 0, 0,5, 1,...}.
podemos escrever o conjunto dos números inteiros através da expressão abaixo.
Q = {x\ x = p\q , com p ∈ Z e q ∈ Z*}
Obs: As dízimas periódicas pertencem ao conjunto dos números racionais.
Conjunto dos números irracionais
O conjunto dos números irracionais é formado por todos os números que não são quocientes de inteiros e que podem ser representados por decimais não periódicos infinitos, é representado pela letra I.
Alguns exemplos de números irracionais:
p = 3,1415926535897932384626433832795...
√2 = 1,41421356...
√3 = 1,73205081...
Conjunto dos números reais
O conjunto dos números reais é a união de todos os elementos do conjunto dos números racionais(Q) e do conjunto dos números irracionais(I), o conjunto dos números reais é simbolizado por R.
Para uma melhor compreensão podemos representar estes conjuntos através do Diagrama de Venn.
Intervalos Reais
O conjunto dos números reais(R), possui subconjuntos denominados intervalos. Estes intervalos são obtidos através de desigualdades. Sejam os números reais a e b, com a < b, temos os conjuntos:
1 - intervalo aberto em a e b:
2 - Intervalo fechado em a e b :
3 - Intervalo fechado à esquerda ou aberto à direita de em a e b:
4 - Intervalo fechado à direita ou aberto à esquerda de em a e b:
União e Interseção de intervalos
Como intervalos são conjuntos é natural que as operações mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se de um procedimento muito comum na resolução de alguns problemas.
E a maneira mais fácil e intuitiva de realizar essas operações é através da representação gráfica dos intervalos envolvidos. Vamos à um exemplo prático de como efetuar tais operações.
Sejam A = [-1,6] = {x ε R | -1 ≤ x ≤ 6} e B = (1,+∞) = {x ε R | x > 1} dois intervalos e vamos determinar A U B e A ∩ B.
Primeiramente, marcamos todos os pontos que são extremos ou origens dos intervalos em uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta, traçamos os intervalos que representam graficamente os conjuntos A e B. E, por fim, é só utilizar a definição de união e intersecção para determinar os trechos que estão em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aos dois intervalos, respectivamente. Veja a solução de A ∩ B na figura a seguir e de onde é também facilmente observado o resultado de A U B:
A ∩ B = {x ε R | 1 < x ≤ 6} e A U B = {x ε R | -1 ≤ x}
O que precisamos saber desta parte para o nosso estudo são as relações de pertinência e de inclusão nos conjuntos numéricos. Para mais esclarecimentos abaixo encontra-se um link para um vídeo contendo explicações para facilitar ainda mais.
Não deixe de visitar os exercícios da sua série.
